Құрметті оқырмандар!
Кітапханамыздың Сирек кітаптар қорынан «Қазақ Мемлекеттік» баспасында 1964 жылы жарық көрген «X-XIX ғасыр ұлы ғұламалары» кітабынан – математик және астроном, Орталық Азиялық ұлы ғалым Ғийас Әд-Дин Ибн Масуд Жәмшид Әл-Кәши 
өмірі мен әлемдік ғылымға сіңірген қызметі жайлы ақпарат ұсынамыз.
Жәмшид Кәши
Біздің заманымыздың 1 ғасырынан бастап, христиан дінінің шығуына байланысты, грек ғылымы жойыла бастады. Евклидтің, Архимедтің, Птолемейдің еңбектері ұзақ уақыт ұмыт болды, олар тек соңғы кезде ғана табылып, қайта жасап отыр. Орта ғасырларда христиан діні бүкіл Европаға жайылды. Онда ғылым мен мәдениет шырағы су сепкендей өшіп, қара түнек орнады. Қітаптар жыртылып, ғалымдар тірідей көмілді. Инквизиция Бру- ноны бағанаға байлап өртеді, Галилейді сақалынан сүйреп сотқа әкелді. Инквизиция соты бойынша бір Испанияның өзінде 350 мың адам өлтірілді, олардың 31 912 тірідей отқа жағылды. Осындай жан түршігерлік заманда Орта Азияда 400 жылдай ғылым самалы есіп тұрды.
XV ғасырда Орта Азияныц ғылыми орталығы Самар- қан болды. Онда Ұлықбектің төңірегіне тогіталған ғалымдар қызмет істеді, ғылыми зерттеулер жүргізді. Ұлықбек 1417 жылы медресе ашты. 1421жылы обсерватория сал- дырды. Самарқанға келген әйгілі ғалымдардың ішінде Ираннан келген Жәмшид Қәши, Византиядан келген Қази-Зада Руми тағы басқалар бар еді. Бұлардың Ұлықбектен кейінгі көрнектісі Қәши болатын. Обсерваторияның директоры болып осы Қәши тағайындалған.
Ұлықбек обсерваториясы 4 жылда салынып біткен, ол өз тұсында дүние жүзіндегі обсерваториялардың ең жақсысы болған. Құрылыс жұмыстарын Қәши басқарған. XV ғасырда өмір сүрген Мирхан (Мирхонд) деген автордың жазбаларында мынадай мәліметтер бар: «Обсерваторияны салу жұмысына астрономия ғылымының тірегі, екінші Птолемей, грек ғалымдарыныц ең, кемеңгер мирасқоры мәулән Гиясәддин Жәмшид пен көкірегін ғылым сарайына айналдырған мәулән Низамәддин Қәши мырза қатынасты». «Мәулән» - ғалымдардың араб тіліндегі ғылыми атағы, дәл мағынасы - «біздің тақсыр», бірақ «ғылым қайраткері» мағынасында қолданылған. Мирхан Жәмшид Қәшиді астрономия ғылымының тірегі, е к і н ш і П т о л е м е й деп бағалайды. «Көкірегін ғылым сарайына айналдырған» Низамәдднн Кәши дегені Жәмшидтің көмекшісі және жерлесі. Ол да көрнекті ғалым.
Бірақ Европадағы жалыны аспанды шарпыған инквизиция оты Орта Азияныц қожа-молдаларының да арманы болды. Ұлықбек мектебінен шығып жатқан ғылыми жаңалықтар ислам дініие қайшы келетіндігін, шариғат ере- желерін мансұқ ететіндігін аңғарған дін қызметшілері «обсерваторияны жою және Ұлықбекті өлтіру жөнінде фәтуаға келген» (ескілікті жазбалардан). Бұған Ұлықбектің бейбітшіл және прогрестік саясатын ұнатпаған, атасы Ақсақ Темірдің шапқыншылық жолын қумады деп наразы болған соғысқұмар феодалдар мен тахқа таласқан туыстары қосылған. Ақыры қара ниет топастардың сілімтік тобыры хиджраның 853 жылы рамазан айының 10 күні (1449 жылғы 27 қазанда) Самарқан мен Термез аралығындағы қара жолдың бойында Ұлықбекті кылышпен шауып өлтірген. Оның сүйегі алты айдан кейін ғана жиналып, Самарқанда жерленген.
Ұлықбекті өлтірген зұлымдар обсерваторияны да талқандап, ойларына келгенін істеген. Қейбір ғалымдар өлтірілген, кейбіреулері қашып құтылған. Обсерваторияның кірпіштері таланып кеткен, орнына қоқыс пен күл төгіліп, үстінен мал айдалып, жермен жексен етілген. Сілімтіктер тарихтан ұлы Ұлықбектің есімін және оның обсерваториясын мүлде өшіруді көздеген. Соның салдарынан Ұлықбек обсерваториясының орны 450 жыл бойы белгісіз болып келді. Оның орнын археолог В. Л. Вяткин тек 1908 жылы ғана тапты. Обсерватория Самарқаннан 4 километр жерде, Шопан-ата адырының оңтүстігінде, Қөкек дейтін төбенің басында болған екен.
Кәшидің өмірбаяны жөнінде дәл деректер сақталмаған. Жанама мағлұматтар бойынша ол 1385 жыл шамасында солтүстік Иранның Кәшан қаласында туған, бұл қала Теһеран мен Исфаған аралығында. Өзбекше Кәши, арабша әл-Кәши болып кеткен фамилиясы оның әл-Кәшани деген ныспысының қыскаша айтылғаң түрі. Жолдастары Кәшиді, Хайям сияқты кемеңгер ғалым болғандықтан және Хайямның елінен шыққандықтан, Ғиясәд- дин деп те атайтын болған (Омар Хайямның шын аты Ғиясәддин болатын). Жазған кітаптарында автор өзінің аты-жөнін: «Жәмшид ибн Масғұд ибн Махмұд, дәрігер әл-Кәши, жұрттың айтуы бойынша Ғиясәддин» деп көр- сетеді.
Кәшан қаласы, бүкіл Иран жері Ақсақ Темірге (1336-1405) қараған. Темірден кейін оның баласы - Ұлықбектің әкесі - Шахрух билеген. Кәши өз елінде бірталай кітаптар жазып, атырабына аты шыққан кезде, оны 1420 жылы шамасында Ұлықбек шақырып алған.
Кәшидің өлген жылы да белгісіз. Неміс ғалымы Г. Зутердің келтірген мағлұматтары бойынша ол 1436 жылы, американ ғалымы Е. Кеннедидің жариялаған деректерінше 1429 жылы дүние салған. Кәши еңбектерін орыс тіліне аударып, бастырушы ғалым профессор Б. А. Розенфельдтің айтуынша, 1456 жылы қайтыс болған. Дұрысы Розенфельдтің айтқаны болу керек, өйткені Кәши Ұлықбектен бұрын өлсе, Ұлықбек оның зиратына белгі орнаттырар еді. Іс жүзінде Кәшиге байланысты ешқандай ескерткіш жоқ, қалай өлгені және қайда жерленгені белгісіз.
Кәши көп жазған ғалым. Оның астрономиядан он шақты, математикадан үш ірі еңбегі болған. 1427 жылғы 2 наурызда Самарқанда жазып бітірген «Есеп кілті» атты кітабының алғы сөзінде автор өзінің бұрын жазған мынадай кітаптарын тізіп өтеді:
1. «Хандар ханының астрономиялық таблицалары»,
2. «Ықшам түрдегі астрономиялық таблиңалар»,
3. «Аспан сатылары»,
4. «Шеңбер жөніндегі кітап»,
5. «Хорда мен синус туралы»,
6. «Бакшадағы серуен».
Кәшидің бұлардан кейін не жазғаны белгісіз. Ол атақты дәрігер болғандықтан, медиңинаға да көңіл бөлуі мүмкін. Астрономия, математика, медицина, философия, музыка ғылымдарын қатарынан меңгеру Орта Азия ға- лымдарының Хорезми, Фараби, Бируни, Ибн Сина, Хайямнан бері келе жатқан игі дәстүр болатын.
«Хандар ханының астрономиялық таблиңалары» - арабша «Зиджи хақани», 1413-1414 жылдары жарияланған, Кәшанда жазылған. Онда жұлдыздар мен планеталардың әр кездегі орындары айтылады. Таблицалар азербайжан ғалымы Насыреддин Тусидің (1201-1274) осы саладағы еңбектерін әрі қарай жөндеу, дәлдігін арттыру негізінде жасалған. Онда Кәшидің өзі ашқан жаңалықтар да баяндалған. «Хандардың ханы» дегені - Шахрух. Ол өз тұсында солай аталған. Кітаптың сақталған екі қолжазбасының бірі Стамбулдағы Айя-София кітапханасында, екіншісі Лондондағы «Индия оффиңе» кітапханасында.
«Ықшам түрдегі астрономиялық таблицалар» алдыңғы таблицалардың оңайлатылған, қолдануға қолайлы түрі. «Аспан сатыларында» Күннің, Жердің, Айдың ара қашықтықтарын және мөлшерлерін анықтау мәселелері қарастырылған. «Хорда мен синус туралы» - бір градус бұрыштың синусын табуға арналған кітап. Бұлар- дың нұсқалары сақталмаған. «Бақшадағы серуен» - бой жазу, дем алу, көңіл көтеру кітабы емес,- онда аспанды бақшада отырып бақылау жолдары айтылған. Кәшидің өзі жасаған «табақ әл-мәнәтік»-«белдеулер табағы» деген астрономиялық аспаптың құрылысы мен пайдалану методикасы келтірілген. Белдеулер табағы арқылы жүлдыздардың аспан сферасындагы координаталарын табуға, ай мен күннің тұтылуына байланысты есептерді шешуге болады. Бұл кітап 1416 жылғы 10 ақпанда жазылып аяқталған, бізге жеткен араб тіліндегі жалғыз қолжазбасы «Индия оффице» кітапханасында.
Кәшидің математикадан жазған екі өшпес еңбегі сақталған: «Есеп кілті» және «Шеңбер жөніндегі кітап». Енді осыларға тоқталамыз.
«Есеп кілті» - арабша «Мифтах әл-хисаб», орта ғасырлардағы элементар математиканың энциклопедиясы сияқты. Көлемі 16 баспа табақ. Өз тұсында ондай толық, түсінікті және шебер жазылған кітап болмаған. Шығыс халықтары оны қайта-қайта көшіріп, ғасырлар бойы қолданып келген. Тіпті Иран студенттері XIX ғасырдың аяғында да осы құралды пайдаланған. Кітаптыц жеті қолжазбасы белгілі, олар Ленинград, Берлин, Лейден, Париж, Лондон қалаларының кітапханаларында.
«Есеп кілті» мынадай бес бөлімнен құралған: 1) бүтін сандардың арифметикасы, 2) бөлшек сандардыц арифметикасы, 3) есептеудің астрономдар қолданатын әдістері, 4) өлшеу мәселелері, 5) белгісіз шаманы табу- дың алгебралық жолдары. «Әл-хисаб» деген сөзді европалық ғалымдар «арифметика» деп, Кәши кітабының атын «Арифметика кілті» деп аударып жүр. Шынында олай емес. «Хисабта» есептеу арқылы шешілетін мәселе- лердің бәрі қамтылады. Сондықтан да айтылып отырған кітапта арифметикамен қатар геометриялық, тригонометриялық, алгебралық және астрономиялық есептер карастырылған. Автор еңбегінің оқушыға түсінікті болуы жағына зор көңіл бөледі. Алғы сөз бен кіріспе арқылы оқушыны материалмен алдын ала таныстырып, қажетті мағлұматтармен қаруландырып алады. Сонымен қатар алғы сөзде кітаптың құрылысы баяндалып, кіріспеде арифметика ғылымының анықтамасы келтіріледі.
Бірінші бөлім алты тарауға бөлінген. Онда бүтін сандардың үнді ңифрлары арқылы жазылуы, оқылуы, разрядтары, қосу, азайту, қосарлау, жару, көбейту, бөлу, түбір шығару амалдары және есептеудің дұрыстығын тек- серу жолдары айтылған. Ертеде қосарлау, жару делінген амалдар болған. Қосарлау - екіге көбейту, жару - екіге бөлу амалы. Бұлар қазір дербес амалдар болып саналмайды, жалпы көбейту мен бөлудің құрамына кіреді.
Бұл бөлімде ерекше орын алатын екі материал бар. Олар: бүтін сандардан кез келген оң дәрежелі түбір шығару және екі мүшелі өрнекті бүтін дәрежеге көтеру.
Түбірдің ғылыми анықтамасы Хорезми заманынан белгілі. Бірақ оны іс жүзінде табу есептеушілерді көп қиыншылықтарға ұшыратты. Тарихи деректер бойынша квадрат және куб түбір табу тәсілі біздіц заманымыздан бұрынғы II ғасырда жазылған «Тоғыз тарау арифметика» деген қытай кітабында кездеседі. Орта ғасырларда бұл мәселе үнді математигі Ариабхаттаның (475 жылы туған), өзбек математигі Хорезмидің (780-850) және түрікмен математигі Нәсәуидің (1030 жылы өлген) еңбектерінде баяндалған. Төртінші, бесінші дорежелі түбірлерді Омар Хайям шығарып көрсеткен. Хайямныц бұл жөніндегі кітабы бізге жетпеген. Кәши кез келген бүтін саннан кез келген (екі, үш, төрт, бес т.с. с) бүтін дәрежелі түбір табу ережесін түжырымдайды, мысалдармен түсіндіреді. Ол үнділердің ондық системасы бойынша жазылған, демек қазіргі арифметика ережелері бойынша жазылған, 14 таңбалы 44240899506197 санының бес дәрежелі түбірін және вавилондықтардың алпыстық системасында берілген 34(59) 1(7) 14(54)24(3)47(37)40 санының (түсінікті болу үшін вавилон цифрларының орнына үнді цифрларын жазып, разрядтарын жақшалармен айырып көрсетіп отырмыз) алты дәрежелі түбірін шығарып көрсетеді. Есептеу кезінде жолшыбай шығатын сандарды арнайы таблицаға орналастырады. Кәши бұл әдісті өзім таптым демейді, «бұрынғы ғалымдар шығарған, мен солардың еңбегін баяндап және түсіндіріп отырмын» дейді.
Айтылып отырған әдіс түбірлердің жуық мәндерін табуда да қолданылады. Қазір бұл әдіс жоғары алгебрада Руффини-Торнер әдісі деп аталады. Паоло Руффини (1766-1822) - итальян математигі, Вильям Горнер (1768-1837) - ағылшыи математигі, бұлар Кәши баяндаған ережені тек XIX гасырдыц бірінші ширегінде ғана тапқан.
Түбір шығару ережесі бином теоремасына тығыз байланысты. Кәши кітабында бұл да бар.
Әріптер арқылы өрнектелген екі санның қосындысы немесе айырмасы б и н о м деп аталады (латынша «би» - екі, «иом» - мүше). Дәрежеленетін биномды Ньютон биномы дейді. Жайылып жазылған Ньютон биномының әрбір мүшесінде өзіне лайықты коэффициент болады. Бином теоремасы деп - осы коэффициенттерді табу жолын айтады. Бір дәрежелі биномның коэффи- циенттері 1 және 1, екі дәрежелі биномдікі 1, 2, 1, үш дәрежелі биномдікі 1, 3, 3, 1 төрт дәрежелі биномдікі 1, 4, 6, 4, 1 болады. Жоғары дәрежелі биномдардың да коэффициенттері осылардыц ережесімен шығады. Бином коэффициенттерін төмендегідей үш бұрышты схемамен көрсетуге болады:
Бұл схема қазір Паскаль үшбұрышы делінеді. Ол бойынша биномның кез келген дәрежесін анықтауға болады. Үшбұрыштың екі бүйір қабырғасы 1 санынан жасалған. Төбесіндегі 1 саны - ноль дәрежелі биномның коэффициенті. Ішкі екі қабырғада 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 сандары табиғи ретімеи тұр. Бұлар бойынша аралықтағы сандар табылады: оның әрқайсысы - өзінің екі иығындағы сандардың қосындысы. Мәселен, алтыншы жолдағы 10 саны 4 пен 6 сандарының, сегізінші жолдағы 21 саны 6 мен 15 сандарының қосыидысы. Тоғызыншы жолды тапқанда екі шетіне 1 санын жазып, олардың аралығына ретімен 8, 28, 56, 70, 56, 28, 8 түсіреміз.
Бином ережесі Европаға ағылшынның ұлы математигі Исаак Ньютонның (1643-1727) кітаптары арқылы жайылған. Мұны Ныотон 11 санымен түсіндірген: 11 санын алып, өзін өзіпе көбейтсек, 121 шығады, өзін өзінс үш рет көбейтсек, 1331 шығады. Бұлардың цифрларын бірінен бірін алыстатып жазсақ, Паскаль үшбұрышының үшінші және төртінші жолдары шығады. Әрі қарай да солай бола береді.
Қәши кітабында биномның осы ережесі келтірілген.
Коэффициенттерді ол «дәреже көрсеткіш элементтері» дейді. Кәшиден бұрынғы математиктердің бізге белгілі шығармаларында бином теоремасы кездеспейді, бірақ Кәши оиы «бұрынғы ғалымдардан үйренгем» дегендей болады. Ол биномды Омар Хайямның бізге жетпеген кітабынан оқуы мүмкін. Қалай болған күнде де Кәши би« номдьі Ньютоннан бүрын білген.
Паскаль үшбұрышының схемасы тұңғыш рет неміс математигі М. Штифельдің 1544 жылы жазған арифметикасында кездеседі.
Жоғарыда айтылған түбір шығару әдісі осы бином ережесіне сүйенеді. Жоғары математиканың аса маңызды салалары - дифференциалдық және интегралдык есептеулердің шығуы тарихында бином ережесі елеулі роль атқарды.
Түбір мен бнномның ережесін алғаш жасаған ғалым Кәши деген пікірді ағылшын математигі Дж. Татлер мен неміс математигі Г. Ганкель айтқан. Кәшидің бұл саладағы еңбектерін терең зерттеп, тиянақты қорытынды беруші - Герман Демократиялық Республикасының көрнекті математигі Пауль Люкей (1949 жылы қайтыс болған).
Екінші бөлім он екі тарауға бөлінген, онда Коши бөлшектердің көптеген түрлерін қарастырған: алымдары бірге тең болып келетін мысырлық бөлшектер, бөлімдері алпыс немесе оның дәрежелері болып келетін вавилондық бөлшектер, алымдары мен бөлімдері кез келген оң бүтін сан болып келетін жай бөлшектер, бұлардың атаулары, жазылуы, амалдары, бір түрден екінші түрге аудару жолдары баяндалған. Бұл арада айрықша айтарлық мәселе - Кәшидің ондық бөлшектер теориясын жасауы.
Ондық бөлшек ұғымы XIV ғасырда өмір сүрген Э. Бонфис деген франциялық еврей мұғалімнің ескі еврей тілінде жазылған бір шығармасында кездеседі. Бірақ онда ондық бөлшектердің жазылуы, амалдары айтылмайды. Кәши ондық бөлшектердің ғылыми анықтамасын келтіре- ді, қазіргідей бір жолға жазып, ондық, жүздік, мыңдық үлестерді түсіндіреді (бүтін мен мантиссаның арасын тік сызықша арқылы айырып жазады немесе бүтінді қызыл сиямен жазады). Ондық бөлшектер бойынша мысалдар шығарады. Сондықтан Ғиясәддин Кәши ондық бөлшектер теориясының негізін салушы болып табылады. Ондық бөлшсктерді Европада алғаш қолданған адам-Голландия инженері Симон Стевин (1548-1620). Стевиннің Коши кітабын оқыған-оқымағаны бізге белгісіз.
Ондық бөлшектер ғылымға кең жол ашты. Алуан түрлі таблицалардың бәрі қазір солар арқылы жасалады.
Кітаптың үшінші бөлімі алпыстық системадағы сандардың арифметикасына арналған. Алпыстық системадағы сандардың атаулары, жазылуы оларға амалдар қолдану ережелері айтылған. Сонымен бірге алгебраға жататын үш ерсже келтірілген: негіздері бірдей дәрежелерді көбейту, негіздері бірдей дәрежелерді бөлу және көрсеткіштері әр түрлі радикалдарды көбейту ережелері. Бұлар қазір элементар алгебрада оқылады.
Үшінші бөлім алты тараудан құралған.
Тоғыз тарауға бөлінген төртімші бөлімде геометрия мен тригонометрия баяндалған. Жалпы алғанда Евклид үлгісімен жазылғанымен, көптеген мәселелерді Кәши практикамен ұштастырып, кеңінен қамтып отырады. Ар- химедтің еңбектеріне ерекше көңіл бөледі. Мұнда қарастырылған мәселелер мыналар: нүктелер, түзулер, бұрыштар, үшбұрыштар, төртбұрыштар, көпбұрыштар, дөңгелек пен оның бөліктері, синустар таблицасы, жазықтықтар, көпжақтар, жұмыр денелер, шар мен оның бөліктері, геометриялық салу есептері, ұзындықтарды, аудандарды және көлемдерді өлшеу, геометрия мен тригонометрияның кұрылыс есептерінде қолданылуы. Материал жүйелі түрде орналастырылған, тұжырымдары дәл және түсінікті, олардан автордың кемеңгер ғалым және шебер методист екендігі көрініп тұрады. Кәши көрнекілік моселелеріне де көп көңіл бөледі: қиын теоремалардың чертёждеріи келтіріп отырады.
Кәши дүние жүзілік математиканың өзіне дейінгі асыл мұраларын толық меңгерген. Элементар геометрия осы күні де Кәши кітабының көлемінде деуге болады.
Копіи жазық тригонометрияда да елеулі табыстарға жетеді. Ол косинустар теоремасын тағайындайды (синустар теоремасы ертеден белгілі), дұрыс көпбұрыштардың белгісіз элементтерін геометриялық жолмен де, тригонометриялық жолмен де шығарады.
Шеңбердің доғасын Кәши «қауыс» дейді (бұл арабша «садақ» деген сөз), хорданы «ватар» (садақтың адырнасы - керме тарамысы), оның жартысын, яғни синустың сызығып «джиб» дейді. Қазір қолдаиылып жүрген «синус» сөзі осы джибтіц латынша дол аудармасы.
Кітаптың бесінші бөлімінде (бұл бөлім 4 тарау) алгебралық мәселелер қарастырылады. Атап айтқанда: алгебралық теңдеулер, белгісізді екі рет жалған ұйғару әдісімен табу, натурал қатар сапдары дәрежелеріпің қо- сындылары және шығарылып көрсетілген 40 есеп.
Кәши бірінші және екінші дәрежелі теңдеулерді негізгі алты түрге бөліп, «алгебраның атақты алты есебі» деп атайды, олардың әрқайсысы қалай шешілетінін Хорезми баяндағандығын айтады. Үшінші дәрежелі алгебралық теңдеулердің 19 түрі XII-XIII ғасырларда өмір сүрген Иран математигі Шарафэддин Масғұдтың кітабында келтірілген дейді. Бұлардың шешу жолдарып шынында Омар Хайям тапқан, Масғұд Хайям кітабынан үйренген. Бұдан әрі Кәши төрт дәрежелі теңдеулерге тоқталып, оларды 65 түрге бөледі. Автор: «Мұндай теңдеулерді бұрын ешкім шығармаған еді, мен зерттеп, жолын таптым, бірақ олар жөнінде жеке кітап жазам» дейді. Айтылып отырған кітапты Кәшидің жазған-жазбағаны белгісіз.
Екі рет жалған ұйғару әдісін (арабша әл-хатайын) төмендегі есеп арқылы қарасгырайық.
Белгісіз санға өзіндей, жартысындай, ширегіндей және 5 қосқанда 137 болады. Белгісіз санды табу керек.
Бұл есепті шешу үшін кез келген бір санды, мэселен 44 санын, белгісіздің орнына аламыз, яғни белгісіз сан 44 деп ұйғарамыз. Сонда оның жартысы 22, шпреіі 11 болады. Есептің нұсқауы боиынша 44 және 44, 22, 11, о сандарын қосамыз. Бұдан 126 шығады. Шарт бойынша 137 шығуы керек. Демек, біздің ұйғарғаиымыз қате болды.
137 мен 126 сандарының айырмасы 11 болады. Бұл айырма бірінші ауытқу деп аталады.
Енді белгісіз сан 36 деп ұйғарамыз. 36, 36, 10, У, ә сандарының қосындысы 104 болады. Екінші ұйғарым да қате болды. 137 мен 104 сандарының айырмасы екінші ауытқу 33 болады.
Бұдан кейін бірінші ұйғарымды екінші ауыткуға көбейтеміз: 44 пен 33 көбейтіндісі 1452 болады. Сол сияқты, екінші ұйғарымды бірінші ауыткуға көбейгеміз. 36 мен 11 көбейтіндісі 396 болады. Алдыңғы көбейтіндіден соңғы көбейтіндіні шегереміз, соида 1056 шығады. Екі ауытқудың айырмасы 22. Әлгі 1056 санын осы 22-ге бөлгендс 48 болады. 48 саны есептің жауабы, ізделініп отырған белгісіз сан. Шынында да, 48, 48, 24, 12, 5 сандарының қосындысы 137. Екі рет жалған ұйғару әдісімсн есептер осылай шығарылады. Бұл әдістің тамаша ерекшелігі скі қатеден бір дұрыс қорытынды шығаратындығында.
Екі рет жалған ұйғару әдісін әуелде қытайлықтар мен үнділер тапқан. Бұл әдіс Хорезмидің, Хайямның басқа да кейбір математиктердің еңбектерінде келтірілген. Бірақ Кәши оны тереңдетіп және толықтырып, болуға мүмкін мынадай үш түрлі жағдайға сәйкестендіріп баяндайды: екі ұйғару да белгісізден кем болса, екі ұйғару да белгісізден артық болса және ұйғарудың бірі белгісізден артық, екіншісі кем болса.
Жалған ұйғару әдісі орта ғасырлар математикасында елеулі орын алды, кейінірек «регула фальси» деген атпен Европа елдеріне жайылды.
Табиғи ретімен орналасқан 1, 2, 3, 4, 5, 6, ... сандарының қатары натурал қатар деп аталады. Натурал қатардың шексіздігін ғылым жүзінде тұңғыш рет Евклид дәлелдеген. Математиканың көптеген күрделі есептері осы қатарды жинақтауды талап етеді. Кейде натурал қатардың бір кесіндісін, мәселен 1-ден 1000-ға дейінгі сандардың қосындысын есептеп шығаруға тура келеді. Оны біртіндеп қосу арқылы табу киын (алынған мысалда 500 500 шығады). Бұларды есептеудің қысқаша жолын біздің заманымыздан 2000 жыл бұрын ежелгі мысырлықтар мен вавилондықтар тапқан. Одан әрі натурал қатар сандарының квадраттарының және кубтарының косындылары кездеседі. Квадраттардың қосындысыи вавилондықтар, одан кейін Пифагор (біздің заманымыздан бұ- рынғы V ғасыр) мен Архимед (біздің заманымыздан бұрынғы 287-212 жылдар) ссептеп шығарған. Мәселен, 1000-ға дейінгі натурал қатар сандарының квадраттарының қосындысы болады.
Кубтардың қосындысын өрнектейтін формула тұңғыш рет үнді математигі Ариабхаттаиың кітабыида кездеседі.
Кәши бүлардан асып, натурал қатар сандарының төрт дәрежелерінің қосындысын өрнектейтін формуланы табады. Мыңға дейінгі натурал сандардың төрт дәрежелерінің қосындысы Кәши формуласы бойынша
2.005.013.313.333 санына тең.
Формулада 1000 орнына кез келген натурал санды алып, қатардың қажетті кес.іидісін жинақтауға болады. Төрт дәрежелерді жинақтау формуласы Кәшидің ірі табыстарының бірі болып табылады.
Мұндай формулалар XVII ғасырда европалық математиктер - Ферма, Кавальери, Паскаль, Роберваль, Валлис тағы басқалардың еңбектерінде көрнекті роль атқарды. Неміс математигі Фаульхабер (1580-1635) натурал қатар сандарының он екіге дейінгі дәрежелерін жинақтайтын формулаларды корытып шығарды. Қазір бұл сияқты формулалардың он жеті дәрежеге дейінгі түрлері белгілі. Бірақ кез келген оң бүтін дәрежелердің қосындыларын тікелей есептеп шығаруға арналған формула әлі жоқ.
Бұл бөлімде теңдіктер мен теңсіздіктердің, қатынастар мен пропорциялардың қасиеттері де баяндалады. Кәши оларды Евклидтен гөрі толығырақ айтады.
Кәшидің шеңбер жөніндегі кітабы арабша «Әр-рисә- ла әл-мұхитийя» деп аталады, «мұхит» - шеңбер деген сөз. Кітаптың көлемі 4 баспа табақ. 1424-жылы жазылған. Дүние жүзінде сақталған жалгыз қолжазба данасы Стамбулдың согыс музейінде. Бұл қолжазбаны жогарыда айтылган неміс галымы Люкей фотографиялап алып зерттеп, 1953 жылы араб тілінде және аударып неміс тілінде бастырып шыгарган.
«Шеңбер жөніндегі кітап» - есептеу математикасының тамаша үлгісі. Онда автор сандардан квадрат түбір шыгару амалынан аспайтын элементар әдістерді гана пайдаланып, есептеудің бұрын болып көрмеген дәлдігіне жетеді. Кітапта бір де бір артық не кем амал жоқ, бәрі қажет жоне ретімен орпаластырылған.
Әрбір шеңбердің мөлшері оның диаметріне байланысты, диаметрі үлкейсе, шеңбер де үлкейеді. Әр түрлі шеңберлер алып, олардың әрқайсысының ұзындығын өзінің диаметріне бөлсек, шығатын бөлінділер бірдей болып отырады. Геометрия тілінде бұл қасиетті былай тұжырымдайды: шеңбердің диаметрге ңатынасы тураңты сан болады. Осы тұрақты санды п и с а н ы деп атайды. Пи саны шеңбер теориясының жұлыны сияқты, онсыз шеңберге қатысты мәселелердің ешқайсысы шешілмейді. Жалпы алғанда геометрияның 25 проңенті пи санына сүйенеді. Кәшидің «Шеңбер жөніндегі кітабы» осы пи санын зерттеуге арналган. Кітапта он тарау, бір қосымша бар.
Пи санының 4000 жылдық тарихы бар. Оның ғылыми апықтамасын тұңғыш рет Архимед тағайындаған. Дәл мәнін білмеген ежелгі мысырлықтар, вавилондықтар және қытайлықтар шеңбер өз диаметрінен 3 есе, 3 бүтін се- гізден бір есе, 3 бүтін сексен бірдеи он үш есе ұзын болады деп топшылаган. Мәселені жан-жақты зерттей леліп, Архимед пи 3 бүтін жетіден бір санынан кем, ал 3 бүтін жетпіс бірден ОІІ санынан артық деген қорытынды жасаған. Бүларды жуық түрде ондық бөлшектер арқылы жазсақ, алдыңғысы 3,1428, кейінгісі 3,1408 болады. Аполлоний мен Ариабхатта пи санын 3,1416 болады деді, Хорезми пидің жуық мәндеріи беретін 3,1428, 3,1620 және 3,1416 сандарын көрсетті. Бұл мәселемен көптеген ғалымдар шұғылданды. Қытай математигі Цзу чун-чжи (430-501) пидің 3,1415926 санынан артық, бірақ 3,1415927 санынан кем болатындығын дәлелдеді. Сөйтіп Цзу пи сапының үтірден кейінгі алты цифрын дұрыс тапты. Бұл шеңбер теориясыида Кәшиге дейінгі ең ірі табыс болды.
Кәши пи санының үтірден кейінгі 16 таңбасын дұрыс табады. Оның ұсынған саны мынадай:
3,1415926535897932.
Бұл жәйт Кәшидің өзіне дейінгі математиктерден көш жер озып кеткенін көрсетеді. Кәши шеңберді зерттегенде Архимедтің ізімен жүріп, одан әрі барады. Архимед сияқты, төбелері шеңбердің сызығында жататын, қабырға- лары бірдей көпбұрыштарды (іштей сызылған дұрыс көпбұрыштарды) қарастырады. Төбелердің саны көп болған сайын қабырғалардың ұзындықтарының қосындысы шеңбердің ұзындығына жақындай береді. Архимед қабырғаларының саны 192 болатын көпбұрышпен тоқтаган, ал Кәши 800 335 168 қабыргасы болатын көпбұрышты алган.
Кәшиден кейін өмір сүрген бірталай европалық математиктер (Лудольф, Меңий, Шенкс, Ламберт, Виет, Лежандр, Лейбниц, Эйлер тағы басқалар) пиді мұқият зерттеді. Ағылшын есепшісі Шенкс 1873 жылы оның үтірден кейінгі 708 таңбасын есептеп шығарды. Россия Ғылым академиясының мүшесі Леонард Эйлер (1707-1783) осы санды шексіз қатарлар арқылы өрнектейтін жүзден астам формула берді. XIX ғасырда пидің дәл мәнін табуға мүлде болмайтындығы анықталды, ол трансцендент сан болып шықты. Практикада қажетті дәлдікпен оның тек жуық мәндері ғана алынады. Қазір электрондық есептегіш машина арқылы пи санының 2000 цифры шығарылған.
«Шеңбер жөніндегі кітапта» тригонометрияның бірнеше формуласы бар, 20 таблица бар. «Қорытынды» деп аталған қосымшада Кәши Әбурайхан Бируни (973-1048) мен көрнекті иран математигі Әбіл-Уафа Бозжанидің (940-988)
шеңберге байланысты еңбектеріндегі кемшіліктерді сынайды.
Кәшидің есімі Европаға өткен ғасырда ғана мәлім болды. 1853 жылы француз ғалымы Л. Седийо Кәшидің берілген бұрышты тең үш бөлікке бөлу (бұрыштың трисекциясы) жөніндегі есепті шығарудың жуық жолдарын баяндаған кітапшасынан француз тіліне аударып үзінділер жариялады. Бұл үзінділерді әйгілі неміс математигі Герман Ганкель (1839-1873) жоғары баға- лады. Кәшидің еңбектерін зерттеуге және түсіндіруге ғалымдар А. П. Юшкевич пен Т. Н. Қары-Ниязов көп көңіл бөлді. Пауль Люкей Кәшидің математикалык еңбектері жайында көлемді мақалалар жазып, «Есеп кілті» мен «Шеңбер жөніндегі кітабын» араб және неміс тілдерінде жариялады. Бұл кітаптарды ғалымы профессор Б. А. Розенфельд орыс тіліне аударып, ескертпелер мен түсіндірмелер беріп, 1954 және 1956 жылдары Москвада бастырып шығарды. Соның нәтижесінде Ғиясәддин Жәмшид Кәши ғылым тарихының төрінен өз еңбегіне сай берік орын алды.
Кәши - орта ғасырлар математикасындағы ұлы тұлға. Өз заманында оған теңдес математик болған емес. Пидің 16 таңбасын былай қойғанда, ол - биномды Ньютоннан, ондық бөлшектерді Стевиннен, төрт дәрежелі теңдеуді шешу әдісін Феррариден, натурал қатар сандарының төрт дәрежелерінің қосындысын Фермадан, жуық түбірлерді шығару жолын Руффиниден көп бұрын ашқан ғалым. Кәши - біздің Архимедіміз.
М. Исқақов, Қ. Биболаев
